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笔记记录

要点 01 - 莱布尼兹公式

莱布尼兹公式（Leibniz rule）用于求两个函数乘积的 n 阶导数，形式类似于二项式定理：

(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}

其中：

• u = u(x), v = v(x) 均为 n 阶可导函数
• \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} 为二项式系数
• u^{(k)} 表示 u 的 k 阶导数，v^{(n-k)} 表示 v 的 n-k 阶导数
• 约定 u^{(0)} = u, v^{(0)} = v

常见函数导数表格

f(x)	f'(x)	f''(x)	f'''(x)
\sin x	\cos x	-\sin x	-\cos x
\cos x	-\sin x	-\cos x	\sin x
\arcsin x	\frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }	\frac{x}{ (1-x^2)^{3/2} }	\frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2} }
\tan x	\sec^2 x	2\sec^2 x \tan x	4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x
\arctan x	\frac{1}{1+x^2}	-\frac{2x}{(1+x^2)^2}	\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}
\ln(1+x)	\frac{1}{1+x}	-\frac{1}{(1+x)^2}	\frac{2}{(1+x)^3}

导数在 x=0 处的值

f(x)	f'(0)	f''(0)	f'''(0)
\sin x	1	0	-1
\arcsin x	1	0	1
\tan x	1	0	2
\arctan x	1	0	-2
\ln(1+x)	1	-1	2

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要点 02 - 隐函数求导

一阶求导方程

给定函数 F(x,y) = 0

$\frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}$，推导得到 \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0

二阶或以上求导（以二阶为例）

给定函数方程 A(x,y)\frac{dy}{dx} + B(x,y) = 0

\frac{dA}{dx} \cdot \frac{dy}{dx} + A(x,y)\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dB}{dx} = 0

其中：

\begin{cases} 
\frac{dA}{dx} = \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial A}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} \\ 
\frac{dB}{dx} = \frac{\partial B}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} 
\end{cases}$$

**同理可推广至 $n$ 阶**

设 $F(x, y) = 0$ 确定隐函数 $y = y(x)$，对 $x$ 求 $n$ 阶导数：
$$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{\partial^{n-k} F}{\partial x^{n-k}} \cdot \frac{d^k y}{dx^k} = 0$$

即：
$$\frac{\partial^n F}{\partial x^n} + \binom{n}{1} \frac{\partial^{n-1} F}{\partial x^{n-1} \partial y} \cdot \frac{dy}{dx} + \cdots + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{d^n y}{dx^n} = 0$$

可解出：
$$\frac{d^n y}{dx^n} = -\frac{1}{\frac{\partial F}{\partial y}} \left( \frac{\partial^n F}{\partial x^n} + \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} \frac{\partial^{n-k} F}{\partial x^{n-k} \partial y} \cdot \frac{d^k y}{dx^k} \right)$$

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#### 参数方程求导

参数方程设定为 $\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$

$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y / \Delta t}{\Delta x / \Delta t} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$

$\Delta t \to 0$ 时 $\Delta x \to 0$。

#### 二阶及高阶参数方程求导

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx} = \frac{d(\frac{dy}{dx})/dt}{dx/dt} = \frac{\psi''(t)\phi'(t) - \psi'(t)\phi''(t)}{(\phi'(t))^3}$

### 要点 03 - 曲率

#### 曲率定义

曲率是曲线的切线方向相对于弧长的变化率，表示经过单位弧长时转过多少角度，定义为：

$$\kappa = \frac{d\theta}{ds}$$

其中：
- $\theta$ 是曲线的切线与水平方向的夹角（切线角）
- $s$ 是曲线的弧长

#### 直观理解

对于圆来说，曲率是恒定的：
- 半径为 $R$ 的圆，其曲率为 $\kappa = \frac{1}{R}$
- 半径越小，曲率越大，弯曲越厉害

#### 计算公式

对于常见的曲线来说，其一般形式可以经过如下方式求得：

\begin{aligned} \tan \theta &= \frac{dy}{dx} \ \frac{d}{dx}\left(\tan \theta\right) \cdot \frac{d\theta}{dx} &= \frac{d^2y}{dx^2} \ \frac{d\theta}{dx} &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \ \kappa &= \frac{d\theta}{ds} \ &= \frac{d\theta / dx}{ds / dx} \ &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \ \end{aligned}

#### 参数方程形式

对于参数方程：

\begin{cases} x = x(t) \ y = y(t) \end{cases}

其一般形式可以通过以下方式求解：

\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy / dt}{dx / dt} \ &= \frac{y'}{x'} \

\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) \ &= \frac{d\left(\frac{dy}{dx} \right) / dt}{dx / dt} \ &= \frac{d\left(\frac{y'}{x'} \right) / dt}{dx / dt} \ &= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^2}}{x'} = \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \

\kappa &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \ &= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^3}}{\left[1 + \left(\frac{y'}{x'}\right)^2\right]^{3/2}} \ &= \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \cdot \frac{(x')^{3}}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} \ &= \frac{y''x' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} \end{aligned}

### 知识点
- 莱布尼兹公式
- 隐函数存在定理
- 隐函数求导法则
- 参数方程求导
- 曲率的定义
- 曲率圆与曲率半径