## 笔记记录

### 要点 01 - 莱布尼兹公式

**莱布尼兹公式**（Leibniz rule）用于求两个函数乘积的 **n 阶导数**，形式类似于二项式定理：

$$
(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}
$$

其中：
- $ u = u(x) $, $ v = v(x) $ 均为 $ n $ 阶可导函数
- $ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ 为二项式系数
- $ u^{(k)} $ 表示 $ u $ 的 $ k $ 阶导数，$ v^{(n-k)} $ 表示 $ v $ 的 $ n-k $ 阶导数
- 约定 $ u^{(0)} = u $, $ v^{(0)} = v $

#### 常见函数导数表格

| $f(x)$ | $f'(x)$ | $f''(x)$ | $f'''(x)$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ | $\sin x$ |
| $\arcsin x$ | $\frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }$ | $\frac{x}{ (1-x^2)^{3/2} }$ | $\frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2} }$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $2\sec^2 x \tan x$ | $4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x$ |
| $\arctan x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ | $-\frac{2x}{(1+x^2)^2}$ | $\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}$ |
| $\ln(1+x)$ | $\frac{1}{1+x}$ | $-\frac{1}{(1+x)^2}$ | $\frac{2}{(1+x)^3}$ |

#### 导数在 $x=0$ 处的值

| $f(x)$ | $f'(0)$ | $f''(0)$ | $f'''(0)$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\sin x$ | 1 | 0 | -1 |
| $\arcsin x$ | 1 | 0 | 1 |
| $\tan x$ | 1 | 0 | 2 |
| $\arctan x$ | 1 | 0 | -2 |
| $\ln(1+x)$ | 1 | -1 | 2 |

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### 要点 02 - 隐函数求导

#### 一阶求导方程

给定函数 $F(x,y) = 0$

$\frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}$，推导得到 $\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

#### 二阶或以上求导（以二阶为例）

给定函数方程 $A(x,y)\frac{dy}{dx} + B(x,y) = 0$

$$
\frac{dA}{dx} \cdot \frac{dy}{dx} + A(x,y)\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dB}{dx} = 0
$$

其中：
$$\begin{cases} 
\frac{dA}{dx} = \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial A}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} \\ 
\frac{dB}{dx} = \frac{\partial B}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} 
\end{cases}$$

**同理可推广至 $n$ 阶**

设 $F(x, y) = 0$ 确定隐函数 $y = y(x)$，对 $x$ 求 $n$ 阶导数：
$$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{\partial^{n-k} F}{\partial x^{n-k}} \cdot \frac{d^k y}{dx^k} = 0$$

即：
$$\frac{\partial^n F}{\partial x^n} + \binom{n}{1} \frac{\partial^{n-1} F}{\partial x^{n-1} \partial y} \cdot \frac{dy}{dx} + \cdots + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{d^n y}{dx^n} = 0$$

可解出：
$$\frac{d^n y}{dx^n} = -\frac{1}{\frac{\partial F}{\partial y}} \left( \frac{\partial^n F}{\partial x^n} + \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} \frac{\partial^{n-k} F}{\partial x^{n-k} \partial y} \cdot \frac{d^k y}{dx^k} \right)$$

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#### 参数方程求导

参数方程设定为 $\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$

$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y / \Delta t}{\Delta x / \Delta t} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$

$\Delta t \to 0$ 时 $\Delta x \to 0$。

#### 二阶及高阶参数方程求导

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx} = \frac{d(\frac{dy}{dx})/dt}{dx/dt} = \frac{\psi''(t)\phi'(t) - \psi'(t)\phi''(t)}{(\phi'(t))^3}$

### 要点 03 - 曲率

#### 曲率定义

曲率是曲线的切线方向相对于弧长的变化率，表示经过单位弧长时转过多少角度，定义为：

$$\kappa = \frac{d\theta}{ds}$$

其中：
- $\theta$ 是曲线的切线与水平方向的夹角（切线角）
- $s$ 是曲线的弧长

#### 直观理解

对于圆来说，曲率是恒定的：
- 半径为 $R$ 的圆，其曲率为 $\kappa = \frac{1}{R}$
- 半径越小，曲率越大，弯曲越厉害

#### 计算公式

对于常见的曲线来说，其一般形式可以经过如下方式求得：

$$
\begin{aligned}
\tan \theta &= \frac{dy}{dx} \\
\frac{d}{dx}\left(\tan \theta\right) \cdot \frac{d\theta}{dx} &= \frac{d^2y}{dx^2} \\
\frac{d\theta}{dx} &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \\
\kappa &= \frac{d\theta}{ds} \\
       &= \frac{d\theta / dx}{ds / dx} \\
       &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \\
\end{aligned}
$$

#### 参数方程形式

对于参数方程：
$$
\begin{cases}
x = x(t) \\
y = y(t)
\end{cases}
$$

其一般形式可以通过以下方式求解：

$$
\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy / dt}{dx / dt} \\
              &= \frac{y'}{x'} \\

\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) \\
                  &= \frac{d\left(\frac{dy}{dx} \right) / dt}{dx / dt} \\
                  &= \frac{d\left(\frac{y'}{x'} \right) / dt}{dx / dt} \\
                  &= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^2}}{x'} 
                  = \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \\

\kappa 
&= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \\
&= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^3}}{\left[1 + \left(\frac{y'}{x'}\right)^2\right]^{3/2}} \\
&= \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \cdot \frac{(x')^{3}}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} \\
&= \frac{y''x' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}
\end{aligned}
$$

### 知识点
- 莱布尼兹公式
- 隐函数存在定理
- 隐函数求导法则
- 参数方程求导
- 曲率的定义
- 曲率圆与曲率半径