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## 莱布尼兹公式
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**莱布尼兹公式**（Leibniz rule）用于求两个函数乘积的 **n 阶导数**，形式类似于二项式定理：
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$$
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(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}
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$$
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其中：
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- $ u = u(x) $, $ v = v(x) $ 均为 $ n $ 阶可导函数
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- $ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ 为二项式系数
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- $ u^{(k)} $ 表示 $ u $ 的 $ k $ 阶导数，$ v^{(n-k)} $ 表示 $ v $ 的 $ n-k $ 阶导数
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- 约定 $ u^{(0)} = u $, $ v^{(0)} = v $
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#### 常见函数导数表格
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| $f(x)$ | $f'(x)$ | $f''(x)$ | $f'''(x)$ |
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| :--- | :--- | :--- | :--- |
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| $\sin x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ |
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| $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ | $\sin x$ |
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| $\arcsin x$ | $\frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }$ | $\frac{x}{ (1-x^2)^{3/2} }$ | $\frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2} }$ |
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| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $2\sec^2 x \tan x$ | $4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x$ |
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| $\arctan x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ | $-\frac{2x}{(1+x^2)^2}$ | $\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}$ |
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| $\ln(1+x)$ | $\frac{1}{1+x}$ | $-\frac{1}{(1+x)^2}$ | $\frac{2}{(1+x)^3}$ |
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#### 导数在 $x=0$ 处的值
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| $f(x)$ | $f'(0)$ | $f''(0)$ | $f'''(0)$ |
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| :--- | :--- | :--- | :--- |
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| $\sin x$ | 1 | 0 | -1 |
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| $\arcsin x$ | 1 | 0 | 1 |
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| $\tan x$ | 1 | 0 | 2 |
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| $\arctan x$ | 1 | 0 | -2 |
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| $\ln(1+x)$ | 1 | -1 | 2 | |