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莱布尼兹公式
莱布尼兹公式（Leibniz rule）用于求两个函数乘积的 n 阶导数，形式类似于二项式定理：
(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}
其中：
u = u(x),v = v(x)均为n阶可导函数\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}为二项式系数u^{(k)}表示u的k阶导数，v^{(n-k)}表示v的n-k阶导数- 约定
u^{(0)} = u,v^{(0)} = v
常见函数导数表格
f(x) |
f'(x) |
f''(x) |
f'''(x) |
|---|---|---|---|
\sin x |
\cos x |
-\sin x |
-\cos x |
\cos x |
-\sin x |
-\cos x |
\sin x |
\arcsin x |
\frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } |
\frac{x}{ (1-x^2)^{3/2} } |
\frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2} } |
\tan x |
\sec^2 x |
2\sec^2 x \tan x |
4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x |
\arctan x |
\frac{1}{1+x^2} |
-\frac{2x}{(1+x^2)^2} |
\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3} |
\ln(1+x) |
\frac{1}{1+x} |
-\frac{1}{(1+x)^2} |
\frac{2}{(1+x)^3} |
导数在 x=0 处的值
f(x) |
f'(0) |
f''(0) |
f'''(0) |
|---|---|---|---|
\sin x |
1 | 0 | -1 |
\arcsin x |
1 | 0 | 1 |
\tan x |
1 | 0 | 2 |
\arctan x |
1 | 0 | -2 |
\ln(1+x) |
1 | -1 | 2 |