chore: 优化目录结构

subjects/math/01_极限.md

@@ -1,5 +1,8 @@
-# 极限计算中的等价无穷小
+## 笔记记录
-## 1. 核心思想
+
+### 要点 01 - 等价无穷小与泰勒展开
+
+#### 核心思想
 
 在计算 $x \to 0$ 时的函数极限，如果分子分母都是无穷小（或无穷大），通常可以通过**比较它们的最低阶非零项（主项）** 来确定极限值。这一思想的数学基础是**泰勒展开（或渐近展开）**。
 
@@ -7,9 +10,9 @@
 
 ---
 
-## 2. 为什么比较最低阶非零项就能决定极限？
+#### 为什么比较最低阶非零项就能决定极限？
 
-设  
+设
 $$
 f(x) = a x^k + o(x^k),\quad a \neq 0,\qquad 
 g(x) = b x^m + o(x^m),\quad b \neq 0,
@@ -29,7 +32,7 @@ $$
 
 ---
 
-## 3. 通用步骤（泰勒展开法）
+#### 通用步骤（泰勒展开法）
 
 1. **将分子和分母分别展开成泰勒多项式 + 佩亚诺余项**，展开阶数至少达到分子分母的最低阶非零项之后一项（或足够判断抵消情况）。
 2. **找出分子和分母的最低阶非零项**，即形如 $a x^k$（$a \neq 0$）的项。
@@ -41,22 +44,22 @@ $$
 
 ---
 
-## 4. 典型例子
+#### 典型例子
 
-### 例1：乘除运算（直接替换）
+**例1：乘除运算（直接替换）**
 $$
 \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}
 $$
 展开：$\sin x = x + o(x)$，分母 $= x$，主项阶数均为 $1$，系数比 $1/1=1$，极限为 $1$。
 
-### 例2：加减抵消（需要更高阶）
+**例2：加减抵消（需要更高阶）**
 $$
 \lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}
 $$
-若用 $\sin x \sim x$，分子为 $0$，无法计算。正确做法：展开到三阶  
+若用 $\sin x \sim x$，分子为 $0$，无法计算。正确做法：展开到三阶
 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，则分子 $= -\frac{x^3}{6} + o(x^3)$，分母 $= x^3$，阶数相同，系数比 $-\frac16$，极限为 $-\frac16$。
 
-### 例3：分子分母都有余项
+**例3：分子分母都有余项**
 $$
 \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x) - x}{x^2}
 $$
@@ -64,7 +67,7 @@ $$
 
 ---
 
-## 5. 与等价无穷小的关系
+#### 与等价无穷小的关系
 
 | 情形 | 推荐方法 | 原因 |
 |------|----------|------|
@@ -77,7 +80,7 @@ $$
 
 ---
 
-## 6. 注意事项
+#### 注意事项
 
 1. **展开的阶数要一致**：分子分母应展开到相同的阶数（或各自足够判断最低阶）。
 2. **佩亚诺余项不能丢**：用 $o(x^n)$ 严格表示高阶无穷小，确保运算合法。
@@ -86,8 +89,14 @@ $$
 
 ---
 
-## 7. 总结
+#### 总结
 
 - **泰勒展开法**是求极限的终极武器，适用于任何可展开的函数。
 - 核心就是**比较分子分母的最低阶非零项**：阶数决定趋势，系数决定比值。
-- 等价无穷小是泰勒展开的特例（一阶近似），在乘除运算中安全高效，在加减抵消时需谨慎。
+- 等价无穷小是泰勒展开的特例（一阶近似），在乘除运算中安全高效，在加减抵消时需谨慎。
+
+### 知识点
+- 泰勒展开
+- 等价无穷小替换
+- 洛必达法则
+- 佩亚诺余项

subjects/math/02_导数与微分.md

@@ -0,0 +1,157 @@
+## 笔记记录
+
+### 要点 01 - 莱布尼兹公式
+
+**莱布尼兹公式**（Leibniz rule）用于求两个函数乘积的 **n 阶导数**，形式类似于二项式定理：
+
+$$
+(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}
+$$
+
+其中：
+- $ u = u(x) $, $ v = v(x) $ 均为 $ n $ 阶可导函数
+- $ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ 为二项式系数
+- $ u^{(k)} $ 表示 $ u $ 的 $ k $ 阶导数，$ v^{(n-k)} $ 表示 $ v $ 的 $ n-k $ 阶导数
+- 约定 $ u^{(0)} = u $, $ v^{(0)} = v $
+
+#### 常见函数导数表格
+
+| $f(x)$ | $f'(x)$ | $f''(x)$ | $f'''(x)$ |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+| $\sin x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ |
+| $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ | $\sin x$ |
+| $\arcsin x$ | $\frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }$ | $\frac{x}{ (1-x^2)^{3/2} }$ | $\frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2} }$ |
+| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $2\sec^2 x \tan x$ | $4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x$ |
+| $\arctan x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ | $-\frac{2x}{(1+x^2)^2}$ | $\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}$ |
+| $\ln(1+x)$ | $\frac{1}{1+x}$ | $-\frac{1}{(1+x)^2}$ | $\frac{2}{(1+x)^3}$ |
+
+#### 导数在 $x=0$ 处的值
+
+| $f(x)$ | $f'(0)$ | $f''(0)$ | $f'''(0)$ |
+| :--- | :--- | :--- | :--- |
+| $\sin x$ | 1 | 0 | -1 |
+| $\arcsin x$ | 1 | 0 | 1 |
+| $\tan x$ | 1 | 0 | 2 |
+| $\arctan x$ | 1 | 0 | -2 |
+| $\ln(1+x)$ | 1 | -1 | 2 |
+
+---
+
+### 要点 02 - 隐函数求导
+
+#### 一阶求导方程
+
+给定函数 $F(x,y) = 0$
+
+$\frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}$，推导得到 $\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
+
+#### 二阶或以上求导（以二阶为例）
+
+给定函数方程 $A(x,y)\frac{dy}{dx} + B(x,y) = 0$
+
+$$
+\frac{dA}{dx} \cdot \frac{dy}{dx} + A(x,y)\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dB}{dx} = 0
+$$
+
+其中：
+$$\begin{cases} 
+\frac{dA}{dx} = \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial A}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} \\ 
+\frac{dB}{dx} = \frac{\partial B}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} 
+\end{cases}$$
+
+**同理可推广至 $n$ 阶**
+
+设 $F(x, y) = 0$ 确定隐函数 $y = y(x)$，对 $x$ 求 $n$ 阶导数：
+$$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{\partial^{n-k} F}{\partial x^{n-k}} \cdot \frac{d^k y}{dx^k} = 0$$
+
+即：
+$$\frac{\partial^n F}{\partial x^n} + \binom{n}{1} \frac{\partial^{n-1} F}{\partial x^{n-1} \partial y} \cdot \frac{dy}{dx} + \cdots + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{d^n y}{dx^n} = 0$$
+
+可解出：
+$$\frac{d^n y}{dx^n} = -\frac{1}{\frac{\partial F}{\partial y}} \left( \frac{\partial^n F}{\partial x^n} + \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} \frac{\partial^{n-k} F}{\partial x^{n-k} \partial y} \cdot \frac{d^k y}{dx^k} \right)$$
+
+---
+
+#### 参数方程求导
+
+参数方程设定为 $\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$
+
+$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y / \Delta t}{\Delta x / \Delta t} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$
+
+$\Delta t \to 0$ 时 $\Delta x \to 0$。
+
+#### 二阶及高阶参数方程求导
+
+$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx} = \frac{d(\frac{dy}{dx})/dt}{dx/dt} = \frac{\psi''(t)\phi'(t) - \psi'(t)\phi''(t)}{(\phi'(t))^3}$
+
+### 要点 03 - 曲率
+
+#### 曲率定义
+
+曲率是曲线的切线方向相对于弧长的变化率，表示经过单位弧长时转过多少角度，定义为：
+
+$$\kappa = \frac{d\theta}{ds}$$
+
+其中：
+- $\theta$ 是曲线的切线与水平方向的夹角（切线角）
+- $s$ 是曲线的弧长
+
+#### 直观理解
+
+对于圆来说，曲率是恒定的：
+- 半径为 $R$ 的圆，其曲率为 $\kappa = \frac{1}{R}$
+- 半径越小，曲率越大，弯曲越厉害
+
+#### 计算公式
+
+对于常见的曲线来说，其一般形式可以经过如下方式求得：
+
+$$
+\begin{aligned}
+\tan \theta &= \frac{dy}{dx} \\
+\frac{d}{dx}\left(\tan \theta\right) \cdot \frac{d\theta}{dx} &= \frac{d^2y}{dx^2} \\
+\frac{d\theta}{dx} &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \\
+\kappa &= \frac{d\theta}{ds} \\
+       &= \frac{d\theta / dx}{ds / dx} \\
+       &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \\
+\end{aligned}
+$$
+
+#### 参数方程形式
+
+对于参数方程：
+$$
+\begin{cases}
+x = x(t) \\
+y = y(t)
+\end{cases}
+$$
+
+其一般形式可以通过以下方式求解：
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{dy}{dx} &= \frac{dy / dt}{dx / dt} \\
+              &= \frac{y'}{x'} \\
+
+\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) \\
+                  &= \frac{d\left(\frac{dy}{dx} \right) / dt}{dx / dt} \\
+                  &= \frac{d\left(\frac{y'}{x'} \right) / dt}{dx / dt} \\
+                  &= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^2}}{x'} 
+                  = \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \\
+
+\kappa 
+&= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \\
+&= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^3}}{\left[1 + \left(\frac{y'}{x'}\right)^2\right]^{3/2}} \\
+&= \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \cdot \frac{(x')^{3}}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} \\
+&= \frac{y''x' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}
+\end{aligned}
+$$
+
+### 知识点
+- 莱布尼兹公式
+- 隐函数存在定理
+- 隐函数求导法则
+- 参数方程求导
+- 曲率的定义
+- 曲率圆与曲率半径

subjects/math/04_积分.md

@@ -0,0 +1,20 @@
+## 笔记记录
+
+### 要点 01 - 积分与极限求和式的转化
+
+根据公式
+
+$$
+\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x
+$$
+
+对于均匀矩形分割的情况，实际上只用分离出 $\frac{1}{n}$
+
+$$
+\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(a + \frac{(b-a) i}{n} ) \frac{b-a}{n}
+$$
+
+### 知识点
+- 定积分的定义
+- 黎曼和与积分的关系
+- 均匀分割技巧

subjects/math/09_级数.md

@@ -1,28 +1,40 @@
-# 数列不动点问题
+## 笔记记录
+
+### 要点 01 - 数列不动点问题
+
+#### 定理
 
-## 定理
 设 $x^*$ 是 $T$ 的不动点，$T$ 在 $x^*$ 邻域内连续可微，且 $|T'(x^*)| < 1$，则存在邻域 $U = [x^* - \delta, x^* + \delta]$，使对任意 $x_0 \in U$，迭代 $x_{n+1}=T(x_n)$ 收敛到 $x^*$。
 
-## 证明
+#### 证明
+
+**1. 构造压缩邻域**
 
-### 1. 构造压缩邻域
 由 $|T'(x^*)| < 1$，取 $L$ 使 $|T'(x^*)| < L < 1$。由 $T'$ 连续性，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x^*| \le \delta$ 时，$|T'(x)| \le L$。令 $U = [x^* - \delta, x^* + \delta]$。
 
-### 2. 证明压缩性
+**2. 证明压缩性**
+
 对任意 $x, y \in U$，由**微分中值定理**，存在 $\xi \in U$ 使
 $$
 |T(x) - T(y)| = |T'(\xi)| \cdot |x - y| \le L |x - y|.
 $$
 故 $T$ 在 $U$ 上是压缩映射（$L < 1$）。
 
-### 3. 验证不变性
+**3. 验证不变性**
+
 对任意 $x \in U$，
 $$
 |T(x) - x^*| = |T(x) - T(x^*)| \le L |x - x^*| \le L\delta < \delta,
 $$
 所以 $T(x) \in U$，即 $T(U) \subseteq U$。
 
-### 4. 应用 Banach 不动点定理
+**4. 应用 Banach 不动点定理**
+
 $U$ 是完备度量空间（闭区间），$T: U \to U$ 是压缩映射。由 **Banach 不动点定理**，$T$ 在 $U$ 内有唯一不动点 $x^*$，且对任意 $x_0 \in U$，迭代 $x_{n+1}=T(x_n)$ 收敛到 $x^*$。
 
-
+### 知识点
+- 不动点的定义
+- 压缩映射原理
+- Banach 不动点定理
+- 微分中值定理
+- 迭代收敛性

subjects/math/曲率推导.md

@@ -1,63 +0,0 @@
-# 曲率的定义
-
-## 1. 平面曲线的曲率
-
-### 曲率定义
-
-曲率是曲线的切线方向相对于弧长的变化率，表示经过单位弧长时转过多少角度，定义为：
-
-$$\kappa = \frac{d\theta}{ds}$$
-
-其中：
-- $\theta$ 是曲线的切线与水平方向的夹角（切线角）
-- $s$ 是曲线的弧长
-
-### 直观理解
-
-对于圆来说，曲率是恒定的：
-- 半径为 $R$ 的圆，其曲率为 $\kappa = \frac{1}{R}$
-- 半径越小，曲率越大，弯曲越厉害
-
-### 计算公式
-
-对于常见的曲线来说，其一般形式可以经过如下方式求得：
-
-$$
-\begin{aligned}
-\tan \theta &= \frac{dy}{dx} \\
-\frac{d}{dx}\left(\tan \theta\right) \cdot \frac{d\theta}{dx} &= \frac{d^2y}{dx^2} \\
-\frac{d\theta}{dx} &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \\
-\kappa &= \frac{d\theta}{ds} \\
-       &= \frac{d\theta / dx}{ds / dx} \\
-       &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \\
-\end{aligned}
-$$
-
-对于参数方程的形式：
-$$
-\begin{cases}
-x = x(t) \\
-y = y(t)
-\end{cases}
-$$
-
-其一般形式可以通过以下方式求解：
-
-$$
-\begin{aligned}
-\frac{dy}{dx} &= \frac{dy / dt}{dx / dt} \\
-              &= \frac{y'}{x'} \\
-
-\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) \\
-                  &= \frac{d\left(\frac{dy}{dx} \right) / dt}{dx / dt} \\
-                  &= \frac{d\left(\frac{y'}{x'} \right) / dt}{dx / dt} \\
-                  &= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^2}}{x'} 
-                  = \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \\
-
-\kappa 
-&= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \\
-&= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^3}}{\left[1 + \left(\frac{y'}{x'}\right)^2\right]^{3/2}} \\
-&= \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \cdot \frac{(x')^{3}}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} \\
-&= \frac{y''x' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}
-\end{aligned}
-$$

subjects/math/积分与极限求和式的转化.md

@@ -1,14 +0,0 @@
-# 积分与极限求和式的转化
-
-根据公式
-
-$$
-\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x
-$$
-
-
-对于均匀矩形分割的情况， 实际上只用分离出 $\frac{1}{n}$
-
-$$
-\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(a + \frac{(b-a) i}{n} ) \frac{b-a}{n}
-$$

subjects/math/莱布尼兹公式.md

@@ -1,38 +0,0 @@
-## 莱布尼兹公式
-
-**莱布尼兹公式**（Leibniz rule）用于求两个函数乘积的 **n 阶导数**，形式类似于二项式定理：
-
-$$
-(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}
-$$
-
-其中：
-- $ u = u(x) $, $ v = v(x) $ 均为 $ n $ 阶可导函数
-- $ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ 为二项式系数
-- $ u^{(k)} $ 表示 $ u $ 的 $ k $ 阶导数，$ v^{(n-k)} $ 表示 $ v $ 的 $ n-k $ 阶导数
-- 约定 $ u^{(0)} = u $, $ v^{(0)} = v $
-
-
-
-
-#### 常见函数导数表格
-
-| $f(x)$ | $f'(x)$ | $f''(x)$ | $f'''(x)$ |
-| :--- | :--- | :--- | :--- |
-| $\sin x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ |
-| $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ | $\sin x$ |
-| $\arcsin x$ | $\frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }$ | $\frac{x}{ (1-x^2)^{3/2} }$ | $\frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2} }$ |
-| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $2\sec^2 x \tan x$ | $4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x$ |
-| $\arctan x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ | $-\frac{2x}{(1+x^2)^2}$ | $\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}$ |
-| $\ln(1+x)$ | $\frac{1}{1+x}$ | $-\frac{1}{(1+x)^2}$ | $\frac{2}{(1+x)^3}$ |
-
-
-#### 导数在 $x=0$ 处的值
-
-| $f(x)$ | $f'(0)$ | $f''(0)$ | $f'''(0)$ |
-| :--- | :--- | :--- | :--- |
-| $\sin x$ | 1 | 0 | -1 |
-| $\arcsin x$ | 1 | 0 | 1 |
-| $\tan x$ | 1 | 0 | 2 |
-| $\arctan x$ | 1 | 0 | -2 |
-| $\ln(1+x)$ | 1 | -1 | 2 |

subjects/math/隐函数求导.md

@@ -1,47 +0,0 @@
-# 隐函数求导
-
-
-## 对于一阶求导方程
-给定函数 $F(x,y) = 0$
-
-$\frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}$ ，推导得到 $\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
-
-## 对于二阶或以上求导（以二阶为例）
-
-给定函数方程 $A(x,y)\frac{dy}{dx} + B(x,y) = 0$
-
-$$
-\frac{dA}{dx} \cdot \frac{dy}{dx} + A(x,y)\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dB}{dx} = 0
-$$
-
-其中：
-$$\begin{cases} 
-\frac{dA}{dx} = \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial A}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} \\ 
-\frac{dB}{dx} = \frac{\partial B}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} 
-\end{cases}$$
-
-**同理可推广至 $n$ 阶**
-
-设 $F(x, y) = 0$ 确定隐函数 $y = y(x)$，对 $x$ 求 $n$ 阶导数：
-$$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{\partial^{n-k} F}{\partial x^{n-k}} \cdot \frac{d^k y}{dx^k} = 0$$
-
-即：
-$$\frac{\partial^n F}{\partial x^n} + \binom{n}{1} \frac{\partial^{n-1} F}{\partial x^{n-1} \partial y} \cdot \frac{dy}{dx} + \cdots + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{d^n y}{dx^n} = 0$$
-
-可解出：
-$$\frac{d^n y}{dx^n} = -\frac{1}{\frac{\partial F}{\partial y}} \left( \frac{\partial^n F}{\partial x^n} + \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} \frac{\partial^{n-k} F}{\partial x^{n-k} \partial y} \cdot \frac{d^k y}{dx^k} \right)$$
-
----
-
-## 参数方程求导
-
-参数方程设定为 $\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$
-
-
-$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y / \Delta t}{\Delta x / \Delta t} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$
-
-$\Delta t \to 0$ 时 $\Delta x \to 0$。
-
-## 对于二阶或以上的范围进行求导
-
-$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx} = \frac{d(\frac{dy}{dx})/dt}{dx/dt} = \frac{\psi''(t)\phi'(t) - \psi'(t)\phi''(t)}{(\phi'(t))^3}$