From d971f37bc023c3fe75129dbb55761bb9b61dde23 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ViperEkura <3081035982@qq.com> Date: Sun, 19 Apr 2026 14:54:51 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?chore:=20=E4=BC=98=E5=8C=96=E7=9B=AE=E5=BD=95?= =?UTF-8?q?=E7=BB=93=E6=9E=84?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../{极限计算中的等价无穷小.md => 01_极限.md} | 37 +++-- subjects/math/02_导数与微分.md | 157 ++++++++++++++++++ subjects/math/04_积分.md | 20 +++ .../math/{数列不动点问题.md => 09_级数.md} | 28 +++- subjects/math/曲率推导.md | 63 ------- subjects/math/积分与极限求和式的转化.md | 14 -- subjects/math/莱布尼兹公式.md | 38 ----- subjects/math/隐函数求导.md | 47 ------ 8 files changed, 220 insertions(+), 184 deletions(-) rename subjects/math/{极限计算中的等价无穷小.md => 01_极限.md} (87%) create mode 100644 subjects/math/02_导数与微分.md create mode 100644 subjects/math/04_积分.md rename subjects/math/{数列不动点问题.md => 09_级数.md} (75%) delete mode 100644 subjects/math/曲率推导.md delete mode 100644 subjects/math/积分与极限求和式的转化.md delete mode 100644 subjects/math/莱布尼兹公式.md delete mode 100644 subjects/math/隐函数求导.md diff --git a/subjects/math/极限计算中的等价无穷小.md b/subjects/math/01_极限.md similarity index 87% rename from subjects/math/极限计算中的等价无穷小.md rename to subjects/math/01_极限.md index d7dc710..9cb029d 100644 --- a/subjects/math/极限计算中的等价无穷小.md +++ b/subjects/math/01_极限.md @@ -1,5 +1,8 @@ -# 极限计算中的等价无穷小 -## 1. 核心思想 +## 笔记记录 + +### 要点 01 - 等价无穷小与泰勒展开 + +#### 核心思想 在计算 $x \to 0$ 时的函数极限，如果分子分母都是无穷小（或无穷大），通常可以通过**比较它们的最低阶非零项（主项）** 来确定极限值。这一思想的数学基础是**泰勒展开（或渐近展开）**。 @@ -7,9 +10,9 @@ --- -## 2. 为什么比较最低阶非零项就能决定极限？ +#### 为什么比较最低阶非零项就能决定极限？ -设 +设 $$ f(x) = a x^k + o(x^k),\quad a \neq 0,\qquad g(x) = b x^m + o(x^m),\quad b \neq 0, @@ -29,7 +32,7 @@ $$ --- -## 3. 通用步骤（泰勒展开法） +#### 通用步骤（泰勒展开法） 1. **将分子和分母分别展开成泰勒多项式 + 佩亚诺余项**，展开阶数至少达到分子分母的最低阶非零项之后一项（或足够判断抵消情况）。 2. **找出分子和分母的最低阶非零项**，即形如 $a x^k$（$a \neq 0$）的项。 @@ -41,22 +44,22 @@ $$ --- -## 4. 典型例子 +#### 典型例子 -### 例1：乘除运算（直接替换） +**例1：乘除运算（直接替换）** $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} $$ 展开：$\sin x = x + o(x)$，分母 $= x$，主项阶数均为 $1$，系数比 $1/1=1$，极限为 $1$。 -### 例2：加减抵消（需要更高阶） +**例2：加减抵消（需要更高阶）** $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} $$ -若用 $\sin x \sim x$，分子为 $0$，无法计算。正确做法：展开到三阶 +若用 $\sin x \sim x$，分子为 $0$，无法计算。正确做法：展开到三阶 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，则分子 $= -\frac{x^3}{6} + o(x^3)$，分母 $= x^3$，阶数相同，系数比 $-\frac16$，极限为 $-\frac16$。 -### 例3：分子分母都有余项 +**例3：分子分母都有余项** $$ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x) - x}{x^2} $$ @@ -64,7 +67,7 @@ $$ --- -## 5. 与等价无穷小的关系 +#### 与等价无穷小的关系 | 情形 | 推荐方法 | 原因 | |------|----------|------| @@ -77,7 +80,7 @@ $$ --- -## 6. 注意事项 +#### 注意事项 1. **展开的阶数要一致**：分子分母应展开到相同的阶数（或各自足够判断最低阶）。 2. **佩亚诺余项不能丢**：用 $o(x^n)$ 严格表示高阶无穷小，确保运算合法。 @@ -86,8 +89,14 @@ $$ --- -## 7. 总结 +#### 总结 - **泰勒展开法**是求极限的终极武器，适用于任何可展开的函数。 - 核心就是**比较分子分母的最低阶非零项**：阶数决定趋势，系数决定比值。 -- 等价无穷小是泰勒展开的特例（一阶近似），在乘除运算中安全高效，在加减抵消时需谨慎。 \ No newline at end of file +- 等价无穷小是泰勒展开的特例（一阶近似），在乘除运算中安全高效，在加减抵消时需谨慎。 + +### 知识点 +- 泰勒展开 +- 等价无穷小替换 +- 洛必达法则 +- 佩亚诺余项 diff --git a/subjects/math/02_导数与微分.md b/subjects/math/02_导数与微分.md new file mode 100644 index 0000000..aa135a2 --- /dev/null +++ b/subjects/math/02_导数与微分.md @@ -0,0 +1,157 @@ +## 笔记记录 + +### 要点 01 - 莱布尼兹公式 + +**莱布尼兹公式**（Leibniz rule）用于求两个函数乘积的 **n 阶导数**，形式类似于二项式定理： + +$$ +(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)} +$$ + +其中： +- $ u = u(x) $, $ v = v(x) $ 均为 $ n $ 阶可导函数 +- $ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ 为二项式系数 +- $ u^{(k)} $ 表示 $ u $ 的 $ k $ 阶导数，$ v^{(n-k)} $ 表示 $ v $ 的 $ n-k $ 阶导数 +- 约定 $ u^{(0)} = u $, $ v^{(0)} = v $ + +#### 常见函数导数表格 + +| $f(x)$ | $f'(x)$ | $f''(x)$ | $f'''(x)$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| $\sin x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ | +| $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ | $\sin x$ | +| $\arcsin x$ | $\frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }$ | $\frac{x}{ (1-x^2)^{3/2} }$ | $\frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2} }$ | +| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $2\sec^2 x \tan x$ | $4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x$ | +| $\arctan x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ | $-\frac{2x}{(1+x^2)^2}$ | $\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}$ | +| $\ln(1+x)$ | $\frac{1}{1+x}$ | $-\frac{1}{(1+x)^2}$ | $\frac{2}{(1+x)^3}$ | + +#### 导数在 $x=0$ 处的值 + +| $f(x)$ | $f'(0)$ | $f''(0)$ | $f'''(0)$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| $\sin x$ | 1 | 0 | -1 | +| $\arcsin x$ | 1 | 0 | 1 | +| $\tan x$ | 1 | 0 | 2 | +| $\arctan x$ | 1 | 0 | -2 | +| $\ln(1+x)$ | 1 | -1 | 2 | + +--- + +### 要点 02 - 隐函数求导 + +#### 一阶求导方程 + +给定函数 $F(x,y) = 0$ + +$\frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}$，推导得到 $\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$ + +#### 二阶或以上求导（以二阶为例） + +给定函数方程 $A(x,y)\frac{dy}{dx} + B(x,y) = 0$ + +$$ +\frac{dA}{dx} \cdot \frac{dy}{dx} + A(x,y)\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dB}{dx} = 0 +$$ + +其中： +$$\begin{cases} +\frac{dA}{dx} = \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial A}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} \\ +\frac{dB}{dx} = \frac{\partial B}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} +\end{cases}$$ + +**同理可推广至 $n$ 阶** + +设 $F(x, y) = 0$ 确定隐函数 $y = y(x)$，对 $x$ 求 $n$ 阶导数： +$$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{\partial^{n-k} F}{\partial x^{n-k}} \cdot \frac{d^k y}{dx^k} = 0$$ + +即： +$$\frac{\partial^n F}{\partial x^n} + \binom{n}{1} \frac{\partial^{n-1} F}{\partial x^{n-1} \partial y} \cdot \frac{dy}{dx} + \cdots + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{d^n y}{dx^n} = 0$$ + +可解出： +$$\frac{d^n y}{dx^n} = -\frac{1}{\frac{\partial F}{\partial y}} \left( \frac{\partial^n F}{\partial x^n} + \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} \frac{\partial^{n-k} F}{\partial x^{n-k} \partial y} \cdot \frac{d^k y}{dx^k} \right)$$ + +--- + +#### 参数方程求导 + +参数方程设定为 $\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$ + +$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y / \Delta t}{\Delta x / \Delta t} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$ + +$\Delta t \to 0$ 时 $\Delta x \to 0$。 + +#### 二阶及高阶参数方程求导 + +$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx} = \frac{d(\frac{dy}{dx})/dt}{dx/dt} = \frac{\psi''(t)\phi'(t) - \psi'(t)\phi''(t)}{(\phi'(t))^3}$ + +### 要点 03 - 曲率 + +#### 曲率定义 + +曲率是曲线的切线方向相对于弧长的变化率，表示经过单位弧长时转过多少角度，定义为： + +$$\kappa = \frac{d\theta}{ds}$$ + +其中： +- $\theta$ 是曲线的切线与水平方向的夹角（切线角） +- $s$ 是曲线的弧长 + +#### 直观理解 + +对于圆来说，曲率是恒定的： +- 半径为 $R$ 的圆，其曲率为 $\kappa = \frac{1}{R}$ +- 半径越小，曲率越大，弯曲越厉害 + +#### 计算公式 + +对于常见的曲线来说，其一般形式可以经过如下方式求得： + +$$ +\begin{aligned} +\tan \theta &= \frac{dy}{dx} \\ +\frac{d}{dx}\left(\tan \theta\right) \cdot \frac{d\theta}{dx} &= \frac{d^2y}{dx^2} \\ +\frac{d\theta}{dx} &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \\ +\kappa &= \frac{d\theta}{ds} \\ + &= \frac{d\theta / dx}{ds / dx} \\ + &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \\ +\end{aligned} +$$ + +#### 参数方程形式 + +对于参数方程： +$$ +\begin{cases} +x = x(t) \\ +y = y(t) +\end{cases} +$$ + +其一般形式可以通过以下方式求解： + +$$ +\begin{aligned} +\frac{dy}{dx} &= \frac{dy / dt}{dx / dt} \\ + &= \frac{y'}{x'} \\ + +\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) \\ + &= \frac{d\left(\frac{dy}{dx} \right) / dt}{dx / dt} \\ + &= \frac{d\left(\frac{y'}{x'} \right) / dt}{dx / dt} \\ + &= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^2}}{x'} + = \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \\ + +\kappa +&= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \\ +&= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^3}}{\left[1 + \left(\frac{y'}{x'}\right)^2\right]^{3/2}} \\ +&= \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \cdot \frac{(x')^{3}}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} \\ +&= \frac{y''x' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} +\end{aligned} +$$ + +### 知识点 +- 莱布尼兹公式 +- 隐函数存在定理 +- 隐函数求导法则 +- 参数方程求导 +- 曲率的定义 +- 曲率圆与曲率半径 diff --git a/subjects/math/04_积分.md b/subjects/math/04_积分.md new file mode 100644 index 0000000..53675ee --- /dev/null +++ b/subjects/math/04_积分.md @@ -0,0 +1,20 @@ +## 笔记记录 + +### 要点 01 - 积分与极限求和式的转化 + +根据公式 + +$$ +\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x +$$ + +对于均匀矩形分割的情况，实际上只用分离出 $\frac{1}{n}$ + +$$ +\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(a + \frac{(b-a) i}{n} ) \frac{b-a}{n} +$$ + +### 知识点 +- 定积分的定义 +- 黎曼和与积分的关系 +- 均匀分割技巧 diff --git a/subjects/math/数列不动点问题.md b/subjects/math/09_级数.md similarity index 75% rename from subjects/math/数列不动点问题.md rename to subjects/math/09_级数.md index 5de6a4d..9399f61 100644 --- a/subjects/math/数列不动点问题.md +++ b/subjects/math/09_级数.md @@ -1,28 +1,40 @@ -# 数列不动点问题 +## 笔记记录 + +### 要点 01 - 数列不动点问题 + +#### 定理 -## 定理 设 $x^*$ 是 $T$ 的不动点，$T$ 在 $x^*$ 邻域内连续可微，且 $|T'(x^*)| < 1$，则存在邻域 $U = [x^* - \delta, x^* + \delta]$，使对任意 $x_0 \in U$，迭代 $x_{n+1}=T(x_n)$ 收敛到 $x^*$。 -## 证明 +#### 证明 + +**1. 构造压缩邻域** -### 1. 构造压缩邻域 由 $|T'(x^*)| < 1$，取 $L$ 使 $|T'(x^*)| < L < 1$。由 $T'$ 连续性，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x^*| \le \delta$ 时，$|T'(x)| \le L$。令 $U = [x^* - \delta, x^* + \delta]$。 -### 2. 证明压缩性 +**2. 证明压缩性** + 对任意 $x, y \in U$，由**微分中值定理**，存在 $\xi \in U$ 使 $$ |T(x) - T(y)| = |T'(\xi)| \cdot |x - y| \le L |x - y|. $$ 故 $T$ 在 $U$ 上是压缩映射（$L < 1$）。 -### 3. 验证不变性 +**3. 验证不变性** + 对任意 $x \in U$， $$ |T(x) - x^*| = |T(x) - T(x^*)| \le L |x - x^*| \le L\delta < \delta, $$ 所以 $T(x) \in U$，即 $T(U) \subseteq U$。 -### 4. 应用 Banach 不动点定理 +**4. 应用 Banach 不动点定理** + $U$ 是完备度量空间（闭区间），$T: U \to U$ 是压缩映射。由 **Banach 不动点定理**，$T$ 在 $U$ 内有唯一不动点 $x^*$，且对任意 $x_0 \in U$，迭代 $x_{n+1}=T(x_n)$ 收敛到 $x^*$。 - +### 知识点 +- 不动点的定义 +- 压缩映射原理 +- Banach 不动点定理 +- 微分中值定理 +- 迭代收敛性 diff --git a/subjects/math/曲率推导.md b/subjects/math/曲率推导.md deleted file mode 100644 index fda1a2b..0000000 --- a/subjects/math/曲率推导.md +++ /dev/null @@ -1,63 +0,0 @@ -# 曲率的定义 - -## 1. 平面曲线的曲率 - -### 曲率定义 - -曲率是曲线的切线方向相对于弧长的变化率，表示经过单位弧长时转过多少角度，定义为： - -$$\kappa = \frac{d\theta}{ds}$$ - -其中： -- $\theta$ 是曲线的切线与水平方向的夹角（切线角） -- $s$ 是曲线的弧长 - -### 直观理解 - -对于圆来说，曲率是恒定的： -- 半径为 $R$ 的圆，其曲率为 $\kappa = \frac{1}{R}$ -- 半径越小，曲率越大，弯曲越厉害 - -### 计算公式 - -对于常见的曲线来说，其一般形式可以经过如下方式求得： - -$$ -\begin{aligned} -\tan \theta &= \frac{dy}{dx} \\ -\frac{d}{dx}\left(\tan \theta\right) \cdot \frac{d\theta}{dx} &= \frac{d^2y}{dx^2} \\ -\frac{d\theta}{dx} &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \\ -\kappa &= \frac{d\theta}{ds} \\ - &= \frac{d\theta / dx}{ds / dx} \\ - &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \\ -\end{aligned} -$$ - -对于参数方程的形式： -$$ -\begin{cases} -x = x(t) \\ -y = y(t) -\end{cases} -$$ - -其一般形式可以通过以下方式求解： - -$$ -\begin{aligned} -\frac{dy}{dx} &= \frac{dy / dt}{dx / dt} \\ - &= \frac{y'}{x'} \\ - -\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) \\ - &= \frac{d\left(\frac{dy}{dx} \right) / dt}{dx / dt} \\ - &= \frac{d\left(\frac{y'}{x'} \right) / dt}{dx / dt} \\ - &= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^2}}{x'} - = \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \\ - -\kappa -&= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \\ -&= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^3}}{\left[1 + \left(\frac{y'}{x'}\right)^2\right]^{3/2}} \\ -&= \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \cdot \frac{(x')^{3}}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} \\ -&= \frac{y''x' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} -\end{aligned} -$$ diff --git a/subjects/math/积分与极限求和式的转化.md b/subjects/math/积分与极限求和式的转化.md deleted file mode 100644 index 7b4073a..0000000 --- a/subjects/math/积分与极限求和式的转化.md +++ /dev/null @@ -1,14 +0,0 @@ -# 积分与极限求和式的转化 - -根据公式 - -$$ -\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x -$$ - - -对于均匀矩形分割的情况， 实际上只用分离出 $\frac{1}{n}$ - -$$ -\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(a + \frac{(b-a) i}{n} ) \frac{b-a}{n} -$$ diff --git a/subjects/math/莱布尼兹公式.md b/subjects/math/莱布尼兹公式.md deleted file mode 100644 index b731fc4..0000000 --- a/subjects/math/莱布尼兹公式.md +++ /dev/null @@ -1,38 +0,0 @@ -## 莱布尼兹公式 - -**莱布尼兹公式**（Leibniz rule）用于求两个函数乘积的 **n 阶导数**，形式类似于二项式定理： - -$$ -(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)} -$$ - -其中： -- $ u = u(x) $, $ v = v(x) $ 均为 $ n $ 阶可导函数 -- $ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ 为二项式系数 -- $ u^{(k)} $ 表示 $ u $ 的 $ k $ 阶导数，$ v^{(n-k)} $ 表示 $ v $ 的 $ n-k $ 阶导数 -- 约定 $ u^{(0)} = u $, $ v^{(0)} = v $ - - - - -#### 常见函数导数表格 - -| $f(x)$ | $f'(x)$ | $f''(x)$ | $f'''(x)$ | -| :--- | :--- | :--- | :--- | -| $\sin x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ | -| $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ | $\sin x$ | -| $\arcsin x$ | $\frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }$ | $\frac{x}{ (1-x^2)^{3/2} }$ | $\frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2} }$ | -| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $2\sec^2 x \tan x$ | $4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x$ | -| $\arctan x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ | $-\frac{2x}{(1+x^2)^2}$ | $\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}$ | -| $\ln(1+x)$ | $\frac{1}{1+x}$ | $-\frac{1}{(1+x)^2}$ | $\frac{2}{(1+x)^3}$ | - - -#### 导数在 $x=0$ 处的值 - -| $f(x)$ | $f'(0)$ | $f''(0)$ | $f'''(0)$ | -| :--- | :--- | :--- | :--- | -| $\sin x$ | 1 | 0 | -1 | -| $\arcsin x$ | 1 | 0 | 1 | -| $\tan x$ | 1 | 0 | 2 | -| $\arctan x$ | 1 | 0 | -2 | -| $\ln(1+x)$ | 1 | -1 | 2 | \ No newline at end of file diff --git a/subjects/math/隐函数求导.md b/subjects/math/隐函数求导.md deleted file mode 100644 index ac5c7d8..0000000 --- a/subjects/math/隐函数求导.md +++ /dev/null @@ -1,47 +0,0 @@ -# 隐函数求导 - - -## 对于一阶求导方程 -给定函数 $F(x,y) = 0$ - -$\frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}$ ，推导得到 $\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$ - -## 对于二阶或以上求导（以二阶为例） - -给定函数方程 $A(x,y)\frac{dy}{dx} + B(x,y) = 0$ - -$$ -\frac{dA}{dx} \cdot \frac{dy}{dx} + A(x,y)\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dB}{dx} = 0 -$$ - -其中： -$$\begin{cases} -\frac{dA}{dx} = \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial A}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} \\ -\frac{dB}{dx} = \frac{\partial B}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} -\end{cases}$$ - -**同理可推广至 $n$ 阶** - -设 $F(x, y) = 0$ 确定隐函数 $y = y(x)$，对 $x$ 求 $n$ 阶导数： -$$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{\partial^{n-k} F}{\partial x^{n-k}} \cdot \frac{d^k y}{dx^k} = 0$$ - -即： -$$\frac{\partial^n F}{\partial x^n} + \binom{n}{1} \frac{\partial^{n-1} F}{\partial x^{n-1} \partial y} \cdot \frac{dy}{dx} + \cdots + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{d^n y}{dx^n} = 0$$ - -可解出： -$$\frac{d^n y}{dx^n} = -\frac{1}{\frac{\partial F}{\partial y}} \left( \frac{\partial^n F}{\partial x^n} + \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} \frac{\partial^{n-k} F}{\partial x^{n-k} \partial y} \cdot \frac{d^k y}{dx^k} \right)$$ - ---- - -## 参数方程求导 - -参数方程设定为 $\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$ - - -$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y / \Delta t}{\Delta x / \Delta t} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$ - -$\Delta t \to 0$ 时 $\Delta x \to 0$。 - -## 对于二阶或以上的范围进行求导 - -$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx} = \frac{d(\frac{dy}{dx})/dt}{dx/dt} = \frac{\psi''(t)\phi'(t) - \psi'(t)\phi''(t)}{(\phi'(t))^3}$ \ No newline at end of file