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# 曲率的定义
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## 1. 平面曲线的曲率
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### 曲率定义
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曲率是曲线的切线方向相对于弧长的变化率，表示经过单位弧长时转过多少角度，定义为：
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$$\kappa = \frac{d\theta}{ds}$$
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其中：
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- $\theta$ 是曲线的切线与水平方向的夹角（切线角）
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- $s$ 是曲线的弧长
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### 直观理解
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对于圆来说，曲率是恒定的：
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- 半径为 $R$ 的圆，其曲率为 $\kappa = \frac{1}{R}$
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- 半径越小，曲率越大，弯曲越厉害
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### 计算公式
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对于常见的曲线来说，其一般形式可以经过如下方式求得：
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$$
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\begin{aligned}
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\tan \theta &= \frac{dy}{dx} \\
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\frac{d}{dx}\left(\tan \theta\right) \cdot \frac{d\theta}{dx} &= \frac{d^2y}{dx^2} \\
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\frac{d\theta}{dx} &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \\
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\kappa &= \frac{d\theta}{ds} \\
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&= \frac{d\theta / dx}{ds / dx} \\
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&= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \\
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\end{aligned}
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$$
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对于参数方程的形式：
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$$
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\begin{cases}
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x = x(t) \\
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y = y(t)
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\end{cases}
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$$
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其一般形式可以通过以下方式求解：
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$$
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\begin{aligned}
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\frac{dy}{dx} &= \frac{dy / dt}{dx / dt} \\
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&= \frac{y'}{x'} \\
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\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) \\
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&= \frac{d\left(\frac{dy}{dx} \right) / dt}{dx / dt} \\
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&= \frac{d\left(\frac{y'}{x'} \right) / dt}{dx / dt} \\
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&= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^2}}{x'}
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= \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \\
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\kappa
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&= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \\
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&= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^3}}{\left[1 + \left(\frac{y'}{x'}\right)^2\right]^{3/2}} \\
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&= \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \cdot \frac{(x')^{3}}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} \\
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&= \frac{y''x' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}
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\end{aligned}
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$$
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