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数列不动点问题

定理

设 x^* 是 T 的不动点，T 在 x^* 邻域内连续可微，且 $|T'(x^)| < 1$，则存在邻域 $U = [x^ - \delta, x^* + \delta]$，使对任意 $x_0 \in U$，迭代 x_{n+1}=T(x_n) 收敛到 $x^*$。

证明

1. 构造压缩邻域

由 $|T'(x^)| < 1$，取 L 使 $|T'(x^)| < L < 1$。由 T' 连续性，存在 $\delta > 0$，当 |x - x^*| \le \delta 时，$|T'(x)| \le L$。令 $U = [x^* - \delta, x^* + \delta]$。

2. 证明压缩性

对任意 $x, y \in U$，由微分中值定理，存在 \xi \in U 使

|T(x) - T(y)| = |T'(\xi)| \cdot |x - y| \le L |x - y|.

故 T 在 U 上是压缩映射（$L < 1$）。

3. 验证不变性

对任意 $x \in U$，

|T(x) - x^*| = |T(x) - T(x^*)| \le L |x - x^*| \le L\delta < \delta,

所以 $T(x) \in U$，即 $T(U) \subseteq U$。

4. 应用 Banach 不动点定理

U 是完备度量空间（闭区间），T: U \to U 是压缩映射。由 Banach 不动点定理，T 在 U 内有唯一不动点 $x^$，且对任意 $x_0 \in U$，迭代 x_{n+1}=T(x_n) 收敛到 $x^$。