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## 错题记录
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### 题目 01
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设在 $(-\infty, +\infty)$ 内，$f''(x) < 0$，$f(0) \ge 0$，则函数 $\frac{f(x)}{x}$ （ ）。
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(A) 在 $(-\infty, 0)$ 内单调减少，在 $(0, +\infty)$ 内单调增加
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(B) 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 内单调减少
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(C) 在 $(-\infty, 0)$ 内单调增加，在 $(0, +\infty)$ 内单调减少
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(D) 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 内单调增加
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### 错误原因
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未正确理解 $f''(x) < 0$ 的几何意义及其对 $\frac{f(x)}{x}$ 单调性的影响
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### 正确答案
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选 **(B)** 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 内单调减少
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**解析**：
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设 $g(x) = \frac{f(x)}{x}$，求导得：
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$$g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}$$
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需要判断 $g'(x)$ 的符号，即判断 $x f'(x) - f(x)$ 的符号。
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由拉格朗日中值定理，$f(x) - f(0) = f'(c) \cdot x$，其中 $c$ 介于 $0$ 和 $x$ 之间。
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因为 $f''(x) < 0$，故 $f'(x)$ 单调递减。
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- 当 $x > 0$ 时：$c \in (0, x)$，则 $f'(c) > f'(x)$，即 $f(x) = f(0) + f'(c)x > f'(x)x$，故 $x f'(x) - f(x) < 0$
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- 当 $x < 0$ 时：$c \in (x, 0)$，则 $f'(c) < f'(x)$，即 $f(x) = f(0) + f'(c)x < f'(x)x$，故 $x f'(x) - f(x) < 0$
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因此 $g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2} < 0$ 对 $x \ne 0$ 恒成立。
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故 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 内均单调减少，选 **(B)**。
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### 知识点
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- 二阶导数的几何意义（上凸函数）
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- 拉格朗日中值定理
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- 函数单调性的判别 |