postgraduate-prep/mistakes/math/极限.md

错题记录

题目

\lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1} \right)^n = \, ?

错误原因

实际上应该转换为\frac{0}{0} 型极限处理， 在处理题目的时候没能正确认识到

正确答案

\lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1} \right)^n = e^{-\frac{2}{\pi}}

解法：

\begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1} \right)^n 
&= \lim_{n \to \infty} 
\exp\left( 
    n \ln\left(\frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1}\right) 
    \right) \newline

&\overset{t=\frac{1}{n}}{=} 
\lim_{t \to 0} 
\exp\left( 
    \frac{\ln\left(\frac{4}{\pi} \arctan \frac{1}{1+t}\right)}{t} 
    \right) \newline

&\overset{\text{L'Hospital}}{=} \lim_{t \to 0} 
\exp\left( 
    \frac{1}{\frac{4}{\pi} \arctan \frac{1}{1+t}} 
    \cdot \frac{4}{\pi} \frac{1}{1 + (\frac{1}{1 + t})^2}  
    \cdot - \frac{1}{(1 + t)^2}
    \right) \newline

&= e^{-\frac{2}{\pi}}

\end{aligned}

故极限为 e^{-\frac{2}{\pi}} 。

知识点

• \frac{0}{0} 型极限处理方法
• 指数型极限处理方法