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曲率的定义

1. 平面曲线的曲率

曲率定义

曲率是曲线的切线方向相对于弧长的变化率，表示经过单位弧长时转过多少角度，定义为：

\kappa = \frac{d\theta}{ds}

其中：

• \theta 是曲线的切线与水平方向的夹角（切线角）
• s 是曲线的弧长

直观理解

对于圆来说，曲率是恒定的：

• 半径为 R 的圆，其曲率为 \kappa = \frac{1}{R}
• 半径越小，曲率越大，弯曲越厉害

计算公式

对于常见的曲线来说，其一般形式可以经过如下方式求得：

\begin{aligned}
\tan \theta &= \frac{dy}{dx} \\
\frac{d}{dx}\left(\tan \theta\right) \cdot \frac{d\theta}{dx} &= \frac{d^2y}{dx^2} \\
\frac{d\theta}{dx} &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \\
\kappa &= \frac{d\theta}{ds} \\
       &= \frac{d\theta / dx}{ds / dx} \\
       &= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \\
\end{aligned}

对于参数方程的形式：

\begin{cases}
x = x(t) \\
y = y(t)
\end{cases}

其一般形式可以通过以下方式求解：

\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy / dt}{dx / dt} \\
              &= \frac{y'}{x'} \\

\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) \\
                  &= \frac{d\left(\frac{dy}{dx} \right) / dt}{dx / dt} \\
                  &= \frac{d\left(\frac{y'}{x'} \right) / dt}{dx / dt} \\
                  &= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^2}}{x'} 
                  = \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \\

\kappa 
&= \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \\
&= \frac{\frac{y''x' - y'x''}{(x')^3}}{\left[1 + \left(\frac{y'}{x'}\right)^2\right]^{3/2}} \\
&= \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} \cdot \frac{(x')^{3}}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} \\
&= \frac{y''x' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}
\end{aligned}