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错题记录

题目 01

设在 (-\infty, +\infty) 内，$f''(x) < 0$，$f(0) \ge 0$，则函数 \frac{f(x)}{x} （ ）。

(A) 在 (-\infty, 0) 内单调减少，在 (0, +\infty) 内单调增加

(B) 在 (-\infty, 0) 和 (0, +\infty) 内单调减少

(C) 在 (-\infty, 0) 内单调增加，在 (0, +\infty) 内单调减少

(D) 在 (-\infty, 0) 和 (0, +\infty) 内单调增加

错误原因

未正确理解 f''(x) < 0 的几何意义及其对 \frac{f(x)}{x} 单调性的影响

正确答案

选 (B) 在 (-\infty, 0) 和 (0, +\infty) 内单调减少

解析：

设 $g(x) = \frac{f(x)}{x}$，求导得：

g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}

需要判断 g'(x) 的符号，即判断 x f'(x) - f(x) 的符号。

由拉格朗日中值定理，$f(x) - f(0) = f'(c) \cdot x$，其中 c 介于 0 和 x 之间。

因为 $f''(x) < 0$，故 f'(x) 单调递减。

• 当 x > 0 时：$c \in (0, x)$，则 $f'(c) > f'(x)$，即 $f(x) = f(0) + f'(c)x > f'(x)x$，故 x f'(x) - f(x) < 0
• 当 x < 0 时：$c \in (x, 0)$，则 $f'(c) < f'(x)$，即 $f(x) = f(0) + f'(c)x < f'(x)x$，故 x f'(x) - f(x) < 0

因此 g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2} < 0 对 x \ne 0 恒成立。

故 \frac{f(x)}{x} 在 (-\infty, 0) 和 (0, +\infty) 内均单调减少，选 (B)。

知识点

• 二阶导数的几何意义（上凸函数）
• 拉格朗日中值定理
• 函数单调性的判别