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错题记录

题目 01

设 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，$ f(a) = 0 ， a > 0 ，证明：存在 \xi \in (a, b) $，使得

f(\xi) = \frac{b - \xi}{a} f'(\xi).

错误原因

对辅助函数构造不熟悉，未能想到构造 F(x) = f(x)(b - x)^a 来应用罗尔定理

正确答案

存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = \frac{b - \xi}{a} f'(\xi)$。

积分法构造辅助函数：

将待证结论写成一般形式：

a \cdot f(x) = (b - x) \cdot f'(x)

变形为：

f'(x) = \frac{a}{b-x} \cdot f(x)

这是一阶齐次线性微分方程 $f'(x) + P(x)f(x) = 0$，其中 $P(x) = -\frac{a}{b-x}$。

积分因子：

\mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{\int -\frac{a}{b-x}dx} = e^{a \ln|b-x|} = (b-x)^a

通解为：

f(x) \cdot (b-x)^a = C

因此构造辅助函数：F(x) = f(x)(b-x)^a

构造辅助函数 $F(x) = f(x)(b - x)^a$，其中 $a > 0$。
由题意，$F(a) = f(a)(b - a)^a = 0$，且 $F(b) = f(b)(b - b)^a = 0$。
根据罗尔定理，存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $F'(\xi) = 0$。
计算 $F'(x)$：

F'(x) = f'(x)(b - x)^a - a f(x)(b - x)^{a-1}

令 $F'(\xi) = 0$，得：

f'(\xi)(b - \xi)^a = a f(\xi)(b - \xi)^{a-1}

由于 $b - \xi > 0$，两边除以 $(b - \xi)^{a-1}$，得：

f'(\xi)(b - \xi) = a f(\xi)

即：

f(\xi) = \frac{b - \xi}{a} f'(\xi)

结论：存在 $\xi \in (a, b)$，满足 $f(\xi) = \frac{b - \xi}{a} f'(\xi)$。

知识点

• 罗尔定理的应用
• 辅助函数的构造技巧（积分因子法）
• 一阶齐次线性微分方程
• 求导法则的应用