## 笔记记录

### 要点 01 - 数列不动点问题

#### 定理

设 $x^*$ 是 $T$ 的不动点，$T$ 在 $x^*$ 邻域内连续可微，且 $|T'(x^*)| < 1$，则存在邻域 $U = [x^* - \delta, x^* + \delta]$，使对任意 $x_0 \in U$，迭代 $x_{n+1}=T(x_n)$ 收敛到 $x^*$。

#### 证明

**1. 构造压缩邻域**

由 $|T'(x^*)| < 1$，取 $L$ 使 $|T'(x^*)| < L < 1$。由 $T'$ 连续性，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x^*| \le \delta$ 时，$|T'(x)| \le L$。令 $U = [x^* - \delta, x^* + \delta]$。

**2. 证明压缩性**

对任意 $x, y \in U$，由**微分中值定理**，存在 $\xi \in U$ 使
$$
|T(x) - T(y)| = |T'(\xi)| \cdot |x - y| \le L |x - y|.
$$
故 $T$ 在 $U$ 上是压缩映射（$L < 1$）。

**3. 验证不变性**

对任意 $x \in U$，
$$
|T(x) - x^*| = |T(x) - T(x^*)| \le L |x - x^*| \le L\delta < \delta,
$$
所以 $T(x) \in U$，即 $T(U) \subseteq U$。

**4. 应用 Banach 不动点定理**

$U$ 是完备度量空间（闭区间），$T: U \to U$ 是压缩映射。由 **Banach 不动点定理**，$T$ 在 $U$ 内有唯一不动点 $x^*$，且对任意 $x_0 \in U$，迭代 $x_{n+1}=T(x_n)$ 收敛到 $x^*$。

### 知识点
- 不动点的定义
- 压缩映射原理
- Banach 不动点定理
- 微分中值定理
- 迭代收敛性