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2026-04-11 19:04:04 +08:00 · 2026-04-11 19:04:04 +08:00 · 9c470fb5e0
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--- a/mistakes/math/01_极限.md
+++ b/mistakes/math/01_极限.md
@ -1,10 +1,8 @@
 ## 错题记录

-
 ### 题目 01
 $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1} \right)^n = \, ?$$

-
 ### 错误原因
 实际上应该转换为$\frac{0}{0}$ 型极限处理， 在处理题目的时候没能正确认识到

@ -12,6 +10,7 @@ $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1} \right)^n = \,
 $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1} \right)^n = e^{-\frac{2}{\pi}}$$

 **解法**：
+
 $$
 \begin{aligned}
 \lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1} \right)^n 
@ -19,34 +18,30 @@ $$
 \exp\left( 
    n \ln\left(\frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1}\right) 
    \right) \newline
-
 &\overset{t=\frac{1}{n}}{=} 
 \lim_{t \to 0} 
 \exp\left( 
    \frac{\ln\left(\frac{4}{\pi} \arctan \frac{1}{1+t}\right)}{t} 
    \right) \newline
-
 &\overset{\text{L'Hospital}}{=} \lim_{t \to 0} 
 \exp\left( 
    \frac{1}{\frac{4}{\pi} \arctan \frac{1}{1+t}} 
    \cdot \frac{4}{\pi} \frac{1}{1 + (\frac{1}{1 + t})^2}  
    \cdot - \frac{1}{(1 + t)^2}
    \right) \newline
-
 &= e^{-\frac{2}{\pi}}
-
 \end{aligned}
 $$

 故极限为 $e^{-\frac{2}{\pi}}$ 。

 ### 知识点
+
 - $\frac{0}{0}$ 型极限处理方法
 - 指数型极限处理方法

-
 ### 题目 02
-设 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处可导，且 $ x_n = \sin\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} $。求极限  
+设 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处可导，且 $x_n = \sin\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}$。求极限 
 $$
 \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_0 + \frac{1}{n}) - f(x_0 - x_n)}{\sin\frac{1}{n}}.
 $$  
@ -54,7 +49,6 @@ $$
 ### 错误原因
 没有意识到等价无穷小替换的问题

-
 ### 正确答案
 $$
 \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_0 + \frac{1}{n}) - f(x_0 - x_n)}{\sin\frac{1}{n}} = 2f'(x_0).
@ -70,7 +64,7 @@ f(x_0 - x_n) &= f(x_0) - f'(x_0) \cdot x_n + o(x_n).
 \end{aligned}
 $$

-由于 $x_n = \sin\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$，且 $\sin\frac{1}{n} = \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$，有：
+由于 $x_n = \sin\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$ ，且 $\sin\frac{1}{n} = \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$ ，有：
 $$
 \begin{aligned}
 f(x_0 + \tfrac{1}{n}) - f(x_0 - x_n) 
@ -90,5 +84,5 @@ $$

 ### 知识点
 - 可导函数的泰勒展开
- 等价无穷小替换：$\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$，$x_n \sim \frac{1}{n}$
+- 等价无穷小替换: $\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$，$x_n \sim \frac{1}{n}$
 - 导数的定义
--- a/mistakes/math/02_导数与微分.md
+++ b/mistakes/math/02_导数与微分.md
@ -0,0 +1,42 @@
+## 错题记录
+
+### 题目 01
+
+设在 $(-\infty, +\infty)$ 内，$f''(x) < 0$，$f(0) \ge 0$，则函数 $\frac{f(x)}{x}$ （ ）。
+
+(A) 在 $(-\infty, 0)$ 内单调减少，在 $(0, +\infty)$ 内单调增加
+
+(B) 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 内单调减少
+
+(C) 在 $(-\infty, 0)$ 内单调增加，在 $(0, +\infty)$ 内单调减少
+
+(D) 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 内单调增加
+
+### 错误原因
+未正确理解 $f''(x) < 0$ 的几何意义及其对 $\frac{f(x)}{x}$ 单调性的影响
+
+### 正确答案
+选 **(B)** 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 内单调减少
+
+**解析**：
+
+设 $g(x) = \frac{f(x)}{x}$，求导得：
+$$g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}$$
+
+需要判断 $g'(x)$ 的符号，即判断 $x f'(x) - f(x)$ 的符号。
+
+由拉格朗日中值定理，$f(x) - f(0) = f'(c) \cdot x$，其中 $c$ 介于 $0$ 和 $x$ 之间。
+
+因为 $f''(x) < 0$，故 $f'(x)$ 单调递减。
+
+- 当 $x > 0$ 时：$c \in (0, x)$，则 $f'(c) > f'(x)$，即 $f(x) = f(0) + f'(c)x > f'(x)x$，故 $x f'(x) - f(x) < 0$
+- 当 $x < 0$ 时：$c \in (x, 0)$，则 $f'(c) < f'(x)$，即 $f(x) = f(0) + f'(c)x < f'(x)x$，故 $x f'(x) - f(x) < 0$
+
+因此 $g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2} < 0$ 对 $x \ne 0$ 恒成立。
+
+故 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 内均单调减少，选 **(B)**。
+
+### 知识点
+- 二阶导数的几何意义（上凸函数）
+- 拉格朗日中值定理
+- 函数单调性的判别
--- a/mistakes/math/03_中值定理.md
+++ b/mistakes/math/03_中值定理.md
@ -1,18 +1,14 @@
 ## 错题记录

-
-
 ### 题目 01
-设 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$ f(a) = 0 $，$ a > 0 $，证明：存在 $ \xi \in (a, b) $，使得  
+设 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$f(a) = 0$，$a > 0$ ，证明：存在 $\xi \in (a, b)$，使得  
 $$
 f(\xi) = \frac{b - \xi}{a} f'(\xi).
 $$

-
 ### 错误原因
 对辅助函数构造不熟悉，未能想到构造 $F(x) = f(x)(b - x)^a$ 来应用罗尔定理

-
 ### 正确答案
 存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = \frac{b - \xi}{a} f'(\xi)$。

@ -56,9 +52,48 @@ $$

 **结论**：存在 $\xi \in (a, b)$，满足 $f(\xi) = \frac{b - \xi}{a} f'(\xi)$。

-
 ### 知识点
 - 罗尔定理的应用
 - 辅助函数的构造技巧（积分因子法）
 - 一阶齐次线性微分方程
- 求导法则的应用
+- 求导法则的应用
+
+### 题目 02
+设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，$f(0)=0$ ， $f'(x)$ 严格单调递增，则对任意 $x \in (0,1)$，有（ ）。
+
+(A) $f(x) > f'(0)x > f(1)x$
+
+(B) $f'(0)x > f(x) > f(1)x$
+
+(C) $f(1)x > f'(0)x > f(x)$
+
+(D) $f(1)x > f(x) > f'(0)x$
+
+### 错误原因
+对拉格朗日中值定理与导数单调性的关系理解不清晰
+
+### 正确答案
+选 **(D)** $f(1)x > f(x) > f'(0)x$
+
+**解析**：
+
+由拉格朗日中值定理，对于任意 $x \in (0,1)$，存在 $c \in (0, x)$，使得：
+$$f(x) = f'(c) \cdot x$$
+
+因为 $f'(x)$ 严格单调递增，故对 $0 < c < x$，有 $f'(0) < f'(c) < f'(x)$。
+
+于是：
+$$f'(0)x < f(x) = f'(c)x < f'(x)x$$
+
+取 $x = 1$，存在 $d \in (0,1)$，使得 $f(1) = f'(d)$，故 $f'(0) < f(1) < f'(1)$。
+
+因此对于任意 $x \in (0,1)$：
+- 下界：$f'(0)x < f(x)$
+- 上界：由于 $f(1) > f'(c)$ 对所有 $c \in (0,1)$ 成立，特别地 $f(x) < f(1)x$
+
+故：$f(1)x > f(x) > f'(0)x$，选 **(D)**。
+
+### 知识点
+- 拉格朗日中值定理
+- 导数的几何意义
+- 严格单调函数的性质
--- a/mistakes/math/README.md
+++ b/mistakes/math/README.md
@ -1,56 +1,106 @@
-# 数学错题集
+# 考研数学一错题集
+
+## 考试内容
+
+考研数学一包含三个模块，共22章：
+
+| 模块 | 章节数 | 分值占比 |
+|-----|-------|---------|
+| 高等数学 | 9章 | 约60% |
+| 线性代数 | 6章 | 约20% |
+| 概率论与数理统计 | 8章 | 约20% |
+
+---
+
+## 目录结构
+
+```
+mistakes/math/
+├── 01_极限.md
+├── 02_导数与微分.md
+├── 03_中值定理.md
+├── 04_积分.md
+├── 05_微分方程.md
+├── 06_多元函数.md
+├── 07_重积分.md
+├── 08_曲线曲面积分.md
+├── 09_级数.md
+│
+├── 10_行列式.md
+├── 11_矩阵.md
+├── 12_向量.md
+├── 13_线性方程组.md
+├── 14_特征值与特征向量.md
+├── 15_二次型.md
+│
+├── 16_随机事件与概率.md
+├── 17_随机变量及其分布.md
+├── 18_多维随机变量.md
+├── 19_随机变量的数字特征.md
+├── 20_大数定律与中心极限定理.md
+├── 21_抽样分布.md
+├── 22_参数估计.md
+└── 23_假设检验.md
+```
+
+---
+
+## 章节内容
+
+### 高等数学
+| 编号 | 章节 | 主要考点 |
+|-----|------|---------|
+| 01 | 极限 | 函数极限定义、性质、计算、两个重要极限 |
+| 02 | 导数与微分 | 导数定义、求导法则、微分中值定理 |
+| 03 | 中值定理 | 费马定理、罗尔定理、拉格朗日、柯西、泰勒 |
+| 04 | 积分 | 不定积分、定积分、变限积分、微元法 |
+| 05 | 微分方程 | 一阶、二阶、高阶、欧拉方程 |
+| 06 | 多元函数 | 极限、连续、偏导、全微分 |
+| 07 | 重积分 | 二重积分、三重积分、坐标变换 |
+| 08 | 曲线曲面积分 | 第一类、第二类曲线积分格林/斯托克斯公式 |
+| 09 | 级数 | 数项级数、幂级数、傅里叶级数 |
+
+### 线性代数
+
+| 编号 | 章节 | 主要考点 |
+|-----|------|---------|
+| 10 | 行列式 | 定义、性质、展开、克拉默法则 |
+| 11 | 矩阵 | 运算、逆矩阵、秩、初等变换 |
+| 12 | 向量 | 线性相关性、极大无关组、秩 |
+| 13 | 线性方程组 | 解的判定、解的结构 |
+| 14 | 特征值与特征向量 | 定义、性质、相似对角化 |
+| 15 | 二次型 | 标准形、规范形、正定二次型 |
+
+### 概率论与数理统计
+
+| 编号 | 章节 | 主要考点 |
+|-----|------|---------|
+| 16 | 随机事件与概率 | 事件关系、运算、概率公式 |
+| 17 | 随机变量及其分布 | 分布函数、常见分布 |
+| 18 | 多维随机变量 | 联合分布、边缘分布、条件分布 |
+| 19 | 随机变量的数字特征 | 期望、方差、协方差、相关系数 |
+| 20 | 大数定律与中心极限定理 | 切比雪夫、辛钦、林德伯格 |
+| 21 | 抽样分布 | 三大分布、抽样定理 |
+| 22 | 参数估计 | 点估计（矩估计、最大似然）、区间估计 |
+| 23 | 假设检验 | 正态总体参数检验 |
+
+---

 ## 错题列表

-| 知识点 | 题目 | 错误类型 | 重要程度 |
-|-------|------|---------|---------|
-| 极限 | [题目01 - 指数型极限](极限.md) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
-| 极限 | [题目02 - 可导函数极限](极限.md) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
+### 高等数学
+
+| 章节 | 题目 | 错误类型 | 重要程度 |
+|-----|------|---------|---------|
+| 01_极限 | [题目01 - 指数型极限](01_极限.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
+| 01_极限 | [题目02 - 可导函数极限](01_极限.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
+| 02_导数与微分 | [题目01 - 函数单调性](02_导数与微分.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
+| 03_中值定理 | [题目01 - 罗尔定理与辅助函数](03_中值定理.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
+| 03_中值定理 | [题目02 - 拉格朗日中值定理](03_中值定理.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ |

 ---

-## 按错误类型分类
-
-### [概念] 概念模糊
-（暂无）
-
-### [计算] 计算失误
-（暂无）
-
-### [方法] 方法错误
- [题目01 - 指数型极限](极限.md)
- [题目02 - 可导函数极限](极限.md)
-
-### [题型] 题型不熟
-（暂无）
-
-### [综合] 综合问题
-（暂无）
-
---
-
-## 按知识点分类
-
-### 极限
- [极限.md](极限.md)（当前2道错题）
-  - 题目01：指数型极限处理
-  - 题目02：可导函数极限计算
-
-### 导数
-（暂无错题）
-
-### 中值定理
-（暂无错题）
-
-### 积分
-（暂无错题）
-
-### 级数
-（暂无错题）
-
---
-
-## 记录模板
+## 错题记录格式

 ```markdown
 ## 错题记录
@ -58,9 +108,6 @@
 ### 题目
 [题干内容]

-### 分类标签
-[概念] / [计算] / [方法] / [题型] / [综合]
-
 ### 错误原因
 [分析为什么会错]

@ -69,8 +116,4 @@

 ### 知识点
 [涉及的知识点]
-
-### 重要程度
-⭐⭐⭐ 高频考点
-⭐⭐  重要
-⭐    一般
+```
--- a/resources/计算机网络.md
+++ b/resources/计算机网络.md
@ -0,0 +1,4 @@
+## 视频推荐
+
+1. [CS144 bilibili](https://www.bilibili.com/video/BV1qotgeXE8D)
+2. [湖科大教书匠-计算机网络微课堂](https://www.bilibili.com/video/BV1c4411d7jb)