feat: 增加极限部分错题

mistakes/math/README.md

@@ -0,0 +1,76 @@
+# 数学错题集
+
+## 错题列表
+
+| 知识点 | 题目 | 错误类型 | 重要程度 |
+|-------|------|---------|---------|
+| 极限 | [题目01 - 指数型极限](极限.md) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
+| 极限 | [题目02 - 可导函数极限](极限.md) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
+
+---
+
+## 按错误类型分类
+
+### [概念] 概念模糊
+（暂无）
+
+### [计算] 计算失误
+（暂无）
+
+### [方法] 方法错误
+- [题目01 - 指数型极限](极限.md)
+- [题目02 - 可导函数极限](极限.md)
+
+### [题型] 题型不熟
+（暂无）
+
+### [综合] 综合问题
+（暂无）
+
+---
+
+## 按知识点分类
+
+### 极限
+- [极限.md](极限.md)（当前2道错题）
+  - 题目01：指数型极限处理
+  - 题目02：可导函数极限计算
+
+### 导数
+（暂无错题）
+
+### 中值定理
+（暂无错题）
+
+### 积分
+（暂无错题）
+
+### 级数
+（暂无错题）
+
+---
+
+## 记录模板
+
+```markdown
+## 错题记录
+
+### 题目
+[题干内容]
+
+### 分类标签
+[概念] / [计算] / [方法] / [题型] / [综合]
+
+### 错误原因
+[分析为什么会错]
+
+### 正确答案
+[正确解法]
+
+### 知识点
+[涉及的知识点]
+
+### 重要程度
+⭐⭐⭐ 高频考点
+⭐⭐  重要
+⭐    一般

mistakes/math/极限.md

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 ## 错题记录
 
-### 题目
+
+### 题目 01
 $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1} \right)^n = \, ?$$
 
 
@@ -42,3 +43,52 @@ $$
 ### 知识点
  - $\frac{0}{0}$ 型极限处理方法
  - 指数型极限处理方法
+
+
+### 题目 02
+设 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处可导，且 $ x_n = \sin\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} $。求极限  
+$$
+\lim_{n \to \infty} \frac{f(x_0 + \frac{1}{n}) - f(x_0 - x_n)}{\sin\frac{1}{n}}.
+$$  
+
+### 错误原因
+没有意识到等价无穷小替换的问题
+
+
+### 正确答案
+$$
+\lim_{n \to \infty} \frac{f(x_0 + \frac{1}{n}) - f(x_0 - x_n)}{\sin\frac{1}{n}} = 2f'(x_0).
+$$
+
+**解法**：
+
+因为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，利用泰勒展开：
+$$
+\begin{aligned}
+f(x_0 + \tfrac{1}{n}) &= f(x_0) + f'(x_0) \cdot \tfrac{1}{n} + o\left(\tfrac{1}{n}\right), \\
+f(x_0 - x_n) &= f(x_0) - f'(x_0) \cdot x_n + o(x_n).
+\end{aligned}
+$$
+
+由于 $x_n = \sin\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$，且 $\sin\frac{1}{n} = \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$，有：
+$$
+\begin{aligned}
+f(x_0 + \tfrac{1}{n}) - f(x_0 - x_n) 
+&= \left[f(x_0) + f'(x_0)\tfrac{1}{n} + o(\tfrac{1}{n})\right] - \left[f(x_0) - f'(x_0)x_n + o(x_n)\right] \\
+&= f'(x_0)\left(\tfrac{1}{n} + x_n\right) + o\left(\tfrac{1}{n}\right) \\
+&= f'(x_0)\left(\tfrac{1}{n} + \tfrac{1}{n} + o(\tfrac{1}{n})\right) + o\left(\tfrac{1}{n}\right) \\
+&= 2f'(x_0)\tfrac{1}{n} + o\left(\tfrac{1}{n}\right).
+\end{aligned}
+$$
+
+因此：
+$$
+\lim_{n \to \infty} \frac{f(x_0 + \frac{1}{n}) - f(x_0 - x_n)}{\sin\frac{1}{n}}
+= \lim_{n \to \infty} \frac{2f'(x_0)\frac{1}{n} + o(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n} + o(\frac{1}{n})}
+= 2f'(x_0).
+$$
+
+### 知识点
+- 可导函数的泰勒展开
+- 等价无穷小替换：$\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$，$x_n \sim \frac{1}{n}$
+- 导数的定义