From 67b6a5ad1aa9a35bc3d57ed8513de0c49d8c61d0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ViperEkura <3081035982@qq.com> Date: Sat, 11 Apr 2026 18:53:18 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?feat:=20=E4=BC=98=E5=8C=96=E7=AB=A0=E8=8A=82?= =?UTF-8?q?=E7=BB=93=E6=9E=84?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- mistakes/math/{极限.md => 01_极限.md} | 10 +- mistakes/math/02_导数与微分.md | 47 ++++++ mistakes/math/{中值定理.md => 03_中值定理.md} | 59 ++++++- mistakes/math/README.md | 156 +++++++++++------- resources/计算机网络.md | 4 + 5 files changed, 213 insertions(+), 63 deletions(-) rename mistakes/math/{极限.md => 01_极限.md} (94%) create mode 100644 mistakes/math/02_导数与微分.md rename mistakes/math/{中值定理.md => 03_中值定理.md} (53%) create mode 100644 resources/计算机网络.md diff --git a/mistakes/math/极限.md b/mistakes/math/01_极限.md similarity index 94% rename from mistakes/math/极限.md rename to mistakes/math/01_极限.md index 0bfb6ef..3320cfb 100644 --- a/mistakes/math/极限.md +++ b/mistakes/math/01_极限.md @@ -2,6 +2,8 @@ ### 题目 01 + +[]() $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1} \right)^n = \, ?$$ @@ -12,6 +14,7 @@ $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1} \right)^n = \, $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1} \right)^n = e^{-\frac{2}{\pi}}$$ **解法**： + $$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1} \right)^n @@ -19,22 +22,18 @@ $$ \exp\left( n \ln\left(\frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1}\right) \right) \newline - &\overset{t=\frac{1}{n}}{=} \lim_{t \to 0} \exp\left( \frac{\ln\left(\frac{4}{\pi} \arctan \frac{1}{1+t}\right)}{t} \right) \newline - &\overset{\text{L'Hospital}}{=} \lim_{t \to 0} \exp\left( \frac{1}{\frac{4}{\pi} \arctan \frac{1}{1+t}} \cdot \frac{4}{\pi} \frac{1}{1 + (\frac{1}{1 + t})^2} \cdot - \frac{1}{(1 + t)^2} \right) \newline - &= e^{-\frac{2}{\pi}} - \end{aligned} $$ @@ -46,7 +45,8 @@ $$ ### 题目 02 -设 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处可导，且 $ x_n = \sin\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} $。求极限 + +设 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处可导，且 $x_n = \sin\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}$。求极限 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_0 + \frac{1}{n}) - f(x_0 - x_n)}{\sin\frac{1}{n}}. $$ diff --git a/mistakes/math/02_导数与微分.md b/mistakes/math/02_导数与微分.md new file mode 100644 index 0000000..e93f126 --- /dev/null +++ b/mistakes/math/02_导数与微分.md @@ -0,0 +1,47 @@ +## 错题记录 + + + +### 题目 01 + +设在 $(-\infty, +\infty)$ 内，$f''(x) < 0$，$f(0) \ge 0$，则函数 $\frac{f(x)}{x}$ （ ）。 + +(A) 在 $(-\infty, 0)$ 内单调减少，在 $(0, +\infty)$ 内单调增加 + +(B) 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 内单调减少 + +(C) 在 $(-\infty, 0)$ 内单调增加，在 $(0, +\infty)$ 内单调减少 + +(D) 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 内单调增加 + + +### 错误原因 +未正确理解 $f''(x) < 0$ 的几何意义及其对 $\frac{f(x)}{x}$ 单调性的影响 + + +### 正确答案 +选 **(B)** 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 内单调减少 + +**解析**： + +设 $g(x) = \frac{f(x)}{x}$，求导得： +$$g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}$$ + +需要判断 $g'(x)$ 的符号，即判断 $x f'(x) - f(x)$ 的符号。 + +由拉格朗日中值定理，$f(x) - f(0) = f'(c) \cdot x$，其中 $c$ 介于 $0$ 和 $x$ 之间。 + +因为 $f''(x) < 0$，故 $f'(x)$ 单调递减。 + +- 当 $x > 0$ 时：$c \in (0, x)$，则 $f'(c) > f'(x)$，即 $f(x) = f(0) + f'(c)x > f'(x)x$，故 $x f'(x) - f(x) < 0$ +- 当 $x < 0$ 时：$c \in (x, 0)$，则 $f'(c) < f'(x)$，即 $f(x) = f(0) + f'(c)x < f'(x)x$，故 $x f'(x) - f(x) < 0$ + +因此 $g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2} < 0$ 对 $x \ne 0$ 恒成立。 + +故 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 内均单调减少，选 **(B)**。 + + +### 知识点 +- 二阶导数的几何意义（上凸函数） +- 拉格朗日中值定理 +- 函数单调性的判别 \ No newline at end of file diff --git a/mistakes/math/中值定理.md b/mistakes/math/03_中值定理.md similarity index 53% rename from mistakes/math/中值定理.md rename to mistakes/math/03_中值定理.md index 6e10a0a..dce21f9 100644 --- a/mistakes/math/中值定理.md +++ b/mistakes/math/03_中值定理.md @@ -3,7 +3,8 @@ ### 题目 01 -设 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$ f(a) = 0 $，$ a > 0 $，证明：存在 $ \xi \in (a, b) $，使得 + +设 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$f(a) = 0$，$a > 0$ ，证明：存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $$ f(\xi) = \frac{b - \xi}{a} f'(\xi). $$ @@ -61,4 +62,58 @@ $$ - 罗尔定理的应用 - 辅助函数的构造技巧（积分因子法） - 一阶齐次线性微分方程 -- 求导法则的应用 \ No newline at end of file +- 求导法则的应用 + + + +### 题目 02 + +设函数 $ f(x) $ 在 $[0,1]$ 上可导，$ f(0)=0 $，$ f'(x) $ 严格单调递增，则对任意 $ x \in (0,1) $，有（ ）。 + +(A) $f(x) > f'(0)x > f(1)x$ + +(B) $f'(0)x > f(x) > f(1)x$ + +(C) $f(1)x > f'(0)x > f(x)$ + +(D) $f(1)x > f(x) > f'(0)x$ + + +### 错误原因 +对拉格朗日中值定理与导数单调性的关系理解不清晰 + + +### 正确答案 +选 **(D)** $ f(1)x > f(x) > f'(0)x $ + +**解析**： + +由拉格朗日中值定理，对于任意 $x \in (0,1)$，存在 $c \in (0, x)$，使得： + +$$f(x) = f'(c) \cdot x$$ + +因为 $f'(x)$ 严格单调递增，故对 $0 < c < x$，有 $f'(0) < f'(c) < f'(x)$。 + +于是： +$$f'(0)x < f(x) = f'(c)x < f'(x)x$$ + +取 $x = 1$，存在 $d \in (0,1)$，使得 $f(1) = f'(d)$，故 $f'(0) < f(1) < f'(1)$。 + +因此对于任意 $ x \in (0,1) $： +- 下界：$f'(0)x < f(x)$ +- 上界：由于 $f(1) > f'(c)$ 对所有 $c \in (0,1)$ 成立，特别地 $f(x) < f(1)x$ + +故：$f(1)x > f(x) > f'(0)x$，选 **(D)**。 + + +### 知识点 +- 拉格朗日中值定理 +- 导数的几何意义 +- 严格单调函数的性质 + + + +### 知识点 +- 拉格朗日中值定理 +- 导数的几何意义 +- 严格单调函数的性质 \ No newline at end of file diff --git a/mistakes/math/README.md b/mistakes/math/README.md index 3f19662..6b35a24 100644 --- a/mistakes/math/README.md +++ b/mistakes/math/README.md @@ -1,66 +1,115 @@ -# 数学错题集 +# 考研数学一错题集 + +## 考试内容 + +考研数学一包含三个模块，共22章： + +| 模块 | 章节数 | 分值占比 | +|-----|-------|---------| +| 高等数学 | 9章 | 约60% | +| 线性代数 | 6章 | 约20% | +| 概率论与数理统计 | 8章 | 约20% | + +--- + +## 目录结构 + +``` +mistakes/math/ +├── 01_极限.md +├── 02_导数与微分.md +├── 03_中值定理.md +├── 04_积分.md +├── 05_微分方程.md +├── 06_多元函数.md +├── 07_重积分.md +├── 08_曲线曲面积分.md +├── 09_级数.md +│ +├── 10_行列式.md +├── 11_矩阵.md +├── 12_向量.md +├── 13_线性方程组.md +├── 14_特征值与特征向量.md +├── 15_二次型.md +│ +├── 16_随机事件与概率.md +├── 17_随机变量及其分布.md +├── 18_多维随机变量.md +├── 19_随机变量的数字特征.md +├── 20_大数定律与中心极限定理.md +├── 21_抽样分布.md +├── 22_参数估计.md +└── 23_假设检验.md +``` + +--- + +## 章节内容 + +### 高等数学 + +| 编号 | 章节 | 主要考点 | +|-----|------|---------| +| 01 | 极限 | 函数极限定义、性质、计算、两个重要极限 | +| 02 | 导数与微分 | 导数定义、求导法则、微分中值定理 | +| 03 | 中值定理 | 费马定理、罗尔定理、拉格朗日、柯西、泰勒 | +| 04 | 积分 | 不定积分、定积分、变限积分、微元法 | +| 05 | 微分方程 | 一阶、二阶、高阶、欧拉方程 | +| 06 | 多元函数 | 极限、连续、偏导、全微分 | +| 07 | 重积分 | 二重积分、三重积分、坐标变换 | +| 08 | 曲线曲面积分 | 第一类、第二类曲线积分格林/斯托克斯公式 | +| 09 | 级数 | 数项级数、幂级数、傅里叶级数 | + +### 线性代数 + +| 编号 | 章节 | 主要考点 | +|-----|------|---------| +| 10 | 行列式 | 定义、性质、展开、克拉默法则 | +| 11 | 矩阵 | 运算、逆矩阵、秩、初等变换 | +| 12 | 向量 | 线性相关性、极大无关组、秩 | +| 13 | 线性方程组 | 解的判定、解的结构 | +| 14 | 特征值与特征向量 | 定义、性质、相似对角化 | +| 15 | 二次型 | 标准形、规范形、正定二次型 | + +### 概率论与数理统计 + +| 编号 | 章节 | 主要考点 | +|-----|------|---------| +| 16 | 随机事件与概率 | 事件关系、运算、概率公式 | +| 17 | 随机变量及其分布 | 分布函数、常见分布 | +| 18 | 多维随机变量 | 联合分布、边缘分布、条件分布 | +| 19 | 随机变量的数字特征 | 期望、方差、协方差、相关系数 | +| 20 | 大数定律与中心极限定理 | 切比雪夫、辛钦、林德伯格 | +| 21 | 抽样分布 | 三大分布、抽样定理 | +| 22 | 参数估计 | 点估计（矩估计、最大似然）、区间估计 | +| 23 | 假设检验 | 正态总体参数检验 | + +--- ## 错题列表 -| 知识点 | 题目 | 错误类型 | 重要程度 | -|-------|------|---------|---------| -| 极限 | [题目01 - 指数型极限](极限.md) | [方法] | ⭐⭐⭐ | -| 极限 | [题目02 - 可导函数极限](极限.md) | [方法] | ⭐⭐⭐ | +### 高等数学 + +| 章节 | 题目 | 错误类型 | 重要程度 | +|-----|------|---------|---------| +| 01_极限 | [题目01 - 指数型极限](01_极限.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ | +| 01_极限 | [题目02 - 可导函数极限](01_极限.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ | +| 02_导数与微分 | [题目01 - 函数单调性](02_导数与微分.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ | +| 03_中值定理 | [题目01 - 罗尔定理与辅助函数](03_中值定理.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ | +| 03_中值定理 | [题目02 - 拉格朗日中值定理](03_中值定理.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ | --- -## 按错误类型分类 - -### [概念] 概念模糊 -（暂无） - -### [计算] 计算失误 -（暂无） - -### [方法] 方法错误 -- [题目01 - 指数型极限](极限.md) -- [题目02 - 可导函数极限](极限.md) - -### [题型] 题型不熟 -（暂无） - -### [综合] 综合问题 -（暂无） - ---- - -## 按知识点分类 - -### 极限 -- [极限.md](极限.md)（当前2道错题） - - 题目01：指数型极限处理 - - 题目02：可导函数极限计算 - -### 导数 -（暂无错题） - -### 中值定理 -（暂无错题） - -### 积分 -（暂无错题） - -### 级数 -（暂无错题） - ---- - -## 记录模板 +## 错题记录格式 ```markdown ## 错题记录 ### 题目 + [题干内容] -### 分类标签 -[概念] / [计算] / [方法] / [题型] / [综合] - ### 错误原因 [分析为什么会错] @@ -68,9 +117,4 @@ [正确解法] ### 知识点 -[涉及的知识点] - -### 重要程度 -⭐⭐⭐ 高频考点 -⭐⭐ 重要 -⭐ 一般 \ No newline at end of file +[涉及的知识点] \ No newline at end of file diff --git a/resources/计算机网络.md b/resources/计算机网络.md new file mode 100644 index 0000000..9b1bc59 --- /dev/null +++ b/resources/计算机网络.md @@ -0,0 +1,4 @@ +## 视频推荐 + +1. 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